与えられた多項式 $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2 = 2x^2 - (y)x + (-y^2 + 3y - 2)$

次に、定数項 $-y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

$-y^2 + 3y - 2 = -(y^2 - 3y + 2) = -(y-1)(y-2)$

したがって、与式は次のようになります。

$2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2 = 2x^2 - yx - (y-1)(y-2)$

因数分解の形を $(2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ と仮定して展開してみます。

$(2x + Ay + B)(x + Cy + D) = 2x^2 + (2C + A)xy + ACy^2 + (2D + B)x + (AD + BC)y + BD$

この式と $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$ の各項を比較すると、

$2C + A = -1$

$AC = -1$

$AD + BC = 3$

$BD = -2$

$AC = -1$より、$A = -1$、$C = 1$の場合と、$A = 1$、$C = -1$の場合が考えられます。

$2C + A = -1$より、$2(1) + A = -1$ ならば $A = -3$、$2(-1) + A = -1$ ならば $A = 1$ なので、$A = 1$、$C = -1$の場合です。

したがって、$A = 1$、$C = -1$です。

$AD + BC = 3$より、$D - B = 3$

$BD = -2$より、$B = 1$、$D = -2$または$B = -1$、$D = 2$または$B = 2$、$D = -1$または$B = -2$、$D = 1$

$D - B = 3$を満たすのは、$B = -2$、$D = 1$

よって、$A = 1$、$B = -2$、$C = -1$、$D = 1$

したがって、$2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2 = (2x + y - 2)(x - y + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x - y + 1)$