与えられた式 $\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x})$ を因数分解して、$\frac{\pi}{3}(e^{-x} + 1)(e^x - 2)$ になることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x})$ を因数分解して、$\frac{\pi}{3}(e^{-x} + 1)(e^x - 2)$ になることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x})$ を変形していきます。

$\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x}) = \frac{\pi}{3}(e^x - \frac{3}{e^x} - \frac{2}{e^{2x}})$

次に、括弧の中を通分します。

$\frac{\pi}{3}(\frac{e^{3x} - 3e^x - 2}{e^{2x}})$

ここで、分子 $e^{3x} - 3e^x - 2$ を因数分解することを考えます。$y = e^x$ と置くと、$y^3 - 3y - 2$ となります。

$y = -1$ を代入すると、$(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ となるので、$y+1$を因数に持ちます。組み立て除法などを用いて、$y^3 - 3y - 2 = (y+1)(y^2 - y - 2)$ となります。

さらに、$y^2 - y - 2 = (y+1)(y-2)$ と因数分解できるので、$y^3 - 3y - 2 = (y+1)(y+1)(y-2) = (y+1)^2(y-2)$ となります。

したがって、$e^{3x} - 3e^x - 2 = (e^x+1)^2(e^x-2)$ となります。

$\frac{\pi}{3}(\frac{(e^x+1)^2(e^x-2)}{e^{2x}})$

$\frac{\pi}{3}\frac{(e^x+1)(e^x+1)(e^x-2)}{e^{2x}} = \frac{\pi}{3}(\frac{e^x+1}{e^x})(\frac{(e^x+1)(e^x-2)}{e^x})$

$\frac{\pi}{3}(\frac{e^x+1}{e^x})(\frac{(e^x+1)(e^x-2)}{e^x})$

$\frac{\pi}{3}(1+e^{-x}) (\frac{e^{2x}-e^{x}-2}{e^x}) = \frac{\pi}{3}(1+e^{-x}) (e^x - 1 -2e^{-x} )$

これは求める形とは異なります.

与えられた形に合わせるとすると、

$\frac{\pi}{3}(\frac{(e^x+1)(e^x+1)(e^x-2)}{e^{2x}}) = \frac{\pi}{3}(e^{-x}+e^{-2x})(e^x+1)(e^x-2)$

問題文がおかしいです。

もしくは$\frac{\pi}{3}(e^{-x}+1)(e^x-2)$に$\frac{\pi}{3}(e^{x}-3e^{-x}-2e^{-2x})$が等しくないことを証明する、という問題かもしれません。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x}) \neq \frac{\pi}{3}(e^{-x} + 1)(e^x - 2)$

問題文が間違っているか、問題の意図が異なります。