2次方程式 $x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\frac{\beta}{\alpha - 1}$ と $\frac{\alpha}{\beta - 1}$ を解とする2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の係数 $p$, $q$ を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\frac{\beta}{\alpha - 1}$ と $\frac{\alpha}{\beta - 1}$ を解とする2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の係数 $p$, $q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -1$

$\alpha \beta = 3$

が成り立つ。

次に、$\frac{\beta}{\alpha - 1} + \frac{\alpha}{\beta - 1}$ と $\frac{\beta}{\alpha - 1} \cdot \frac{\alpha}{\beta - 1}$ を計算する。

$\frac{\beta}{\alpha - 1} + \frac{\alpha}{\beta - 1} = \frac{\beta(\beta - 1) + \alpha(\alpha - 1)}{(\alpha - 1)(\beta - 1)} = \frac{\beta^2 - \beta + \alpha^2 - \alpha}{\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta - (\alpha + \beta)}{\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1} = \frac{(-1)^2 - 2(3) - (-1)}{3 - (-1) + 1} = \frac{1 - 6 + 1}{3 + 1 + 1} = \frac{-4}{5}$

$\frac{\beta}{\alpha - 1} \cdot \frac{\alpha}{\beta - 1} = \frac{\alpha \beta}{(\alpha - 1)(\beta - 1)} = \frac{\alpha \beta}{\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1} = \frac{3}{3 - (-1) + 1} = \frac{3}{3 + 1 + 1} = \frac{3}{5}$

したがって、$\frac{\beta}{\alpha - 1}$ と $\frac{\alpha}{\beta - 1}$ を解とする2次方程式は、$x^2 - (\frac{\beta}{\alpha - 1} + \frac{\alpha}{\beta - 1})x + \frac{\beta}{\alpha - 1} \cdot \frac{\alpha}{\beta - 1} = 0$ であるから、

$x^2 - (-\frac{4}{5})x + \frac{3}{5} = 0$

$x^2 + \frac{4}{5}x + \frac{3}{5} = 0$

$5x^2 + 4x + 3 = 0$

求める2次方程式は $x^2 + px + q = 0$ であるから、係数を比較して

$p = \frac{4}{5}$

$q = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{4}{5}$

$q = \frac{3}{5}$