問題5は、次の式を計算せよという問題です。 $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)}$ 問題6は、$A = x^2 - \frac{1}{x}$、$B = x + 1 + \frac{1}{x}$のとき、$\frac{A}{B}$を簡単にせよという問題です。

1. 問題の内容

問題5は、次の式を計算せよという問題です。

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)}$

問題6は、$A = x^2 - \frac{1}{x}$、$B = x + 1 + \frac{1}{x}$のとき、$\frac{A}{B}$を簡単にせよという問題です。

2. 解き方の手順

問題5：

各項を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

これらを足し合わせると、途中の項が打ち消し合います。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}$

通分して計算します。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} = \frac{(x+3) - x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}$

問題6：

$A = x^2 - \frac{1}{x} = \frac{x^3 - 1}{x}$

$B = x + 1 + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + x + 1}{x}$

$\frac{A}{B} = \frac{\frac{x^3 - 1}{x}}{\frac{x^2 + x + 1}{x}} = \frac{x^3 - 1}{x} \cdot \frac{x}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1}$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ なので、

$\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} = x - 1$

3. 最終的な答え

問題5: $\frac{3}{x(x+3)}$

問題6: $x - 1$