連立方程式を解いて、$x$ と $y$ の値を求める問題です。与えられた方程式は以下の通りです。 $x = \frac{100}{4(x+y)}$ $10-x = \frac{100}{5(10-x + 200-y)}$

1. 問題の内容

連立方程式を解いて、$x$ と $y$ の値を求める問題です。与えられた方程式は以下の通りです。

$x = \frac{100}{4(x+y)}$

$10-x = \frac{100}{5(10-x + 200-y)}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の式を整理します。

$x = \frac{100}{4(x+y)}$

$4x(x+y) = 100$

$x(x+y) = 25$

$x^2 + xy = 25$ (式1)

次に、2つ目の式を整理します。

$10-x = \frac{100}{5(10-x+200-y)}$

$10-x = \frac{100}{5(210-x-y)}$

$5(10-x)(210-x-y) = 100$

$(10-x)(210-x-y) = 20$

$2100 - 10x - 10y - 210x + x^2 + xy = 20$

$x^2 + xy - 220x - 10y + 2100 = 20$

$x^2 + xy - 220x - 10y + 2080 = 0$ (式2)

式2から式1を引きます。

$(x^2 + xy - 220x - 10y + 2080) - (x^2 + xy) = 0 - 25$

$-220x - 10y + 2080 = -25$

$-220x - 10y = -2105$

$220x + 10y = 2105$

$44x + 2y = 421$

$2y = 421 - 44x$

$y = \frac{421 - 44x}{2}$ (式3)

式1に式3を代入します。

$x^2 + x(\frac{421 - 44x}{2}) = 25$

$x^2 + \frac{421x - 44x^2}{2} = 25$

$2x^2 + 421x - 44x^2 = 50$

$-42x^2 + 421x - 50 = 0$

$42x^2 - 421x + 50 = 0$

この二次方程式を解きます。

$x = \frac{-(-421) \pm \sqrt{(-421)^2 - 4(42)(50)}}{2(42)}$

$x = \frac{421 \pm \sqrt{177241 - 8400}}{84}$

$x = \frac{421 \pm \sqrt{168841}}{84}$

$x = \frac{421 \pm 411}{84}$

$x_1 = \frac{421 + 411}{84} = \frac{832}{84} = \frac{208}{21} \approx 9.9$

$x_2 = \frac{421 - 411}{84} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \approx 0.119$

$x = \frac{208}{21}$ の場合、

$y = \frac{421 - 44(\frac{208}{21})}{2} = \frac{421 - \frac{9152}{21}}{2} = \frac{\frac{8841 - 9152}{21}}{2} = \frac{-311}{42}$

$x = \frac{5}{42}$ の場合、

$y = \frac{421 - 44(\frac{5}{42})}{2} = \frac{421 - \frac{220}{42}}{2} = \frac{421 - \frac{110}{21}}{2} = \frac{\frac{8841 - 110}{21}}{2} = \frac{8731}{42}$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (\frac{208}{21}, -\frac{311}{42})$ or $(x, y) = (\frac{5}{42}, \frac{8731}{42})$