与えられた2つの数列の和を求める問題です。 (1) $2\cdot 2 + 4\cdot 5 + 6\cdot 8 + \cdots + 2n(3n-1)$ (2) $(1+1^3) + (2+2^3) + (3+3^3) + \cdots + (n+n^3)$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和を求める問題です。

(1) $2\cdot 2 + 4\cdot 5 + 6\cdot 8 + \cdots + 2n(3n-1)$

(2) $(1+1^3) + (2+2^3) + (3+3^3) + \cdots + (n+n^3)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一般項を求めます。一般項は $a_k = 2k(3k-1) = 6k^2 - 2k$ と表されます。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^n (6k^2 - 2k)$ となります。

$\sum_{k=1}^n (6k^2 - 2k) = 6\sum_{k=1}^n k^2 - 2\sum_{k=1}^n k$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$6\sum_{k=1}^n k^2 - 2\sum_{k=1}^n k = 6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= n(n+1)(2n+1) - n(n+1)$

$= n(n+1)(2n+1-1) = n(n+1)(2n) = 2n^2(n+1) = 2n^3 + 2n^2$

(2)

与えられた数列の一般項は $a_k = k + k^3$ と表されます。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^n (k + k^3)$ となります。

$\sum_{k=1}^n (k + k^3) = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n k^3$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

したがって、

$\sum_{k=1}^n (k + k^3) = \frac{n(n+1)}{2} + \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$= \frac{2n(n+1) + n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)[2 + n(n+1)]}{4}$

$= \frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $2n^3 + 2n^2 = 2n^2(n+1)$

(2) $\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$