次の2つの数列の和を求めます。 (1) $2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + \dots + 2n(3n-1)$ (2) $(1+1^3) + (2+2^3) + (3+3^3) + \dots + (n+n^3)$

1. 問題の内容

次の2つの数列の和を求めます。

(1) $2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + \dots + 2n(3n-1)$

(2) $(1+1^3) + (2+2^3) + (3+3^3) + \dots + (n+n^3)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、数列の一般項を求めます。第k項は $2k(3k-1) = 6k^2 - 2k$ となります。

したがって、数列の和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用います。

したがって、

$6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - n(n+1) = n(n+1)(2n+1-1) = n(n+1)(2n) = 2n^2(n+1)$

(2)

数列の一般項は $k+k^3$ となります。

したがって、数列の和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (k+k^3) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^3$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ を用います。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n(n+1)}{2} + \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{2n(n+1) + n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(2+n(n+1))}{4} = \frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $2n^2(n+1)$

(2) $\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$