与えられた多項式 $3x^2 - 2y^2 + xy - 6xz + 4yz + x + y - 2z$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - 2y^2 + xy - 6xz + 4yz + x + y - 2z$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を注意深く観察すると、$x$, $y$, $z$ の2次式と1次式が含まれていることがわかります。

まず、$x$ に関して整理してみます。

$3x^2 + (y - 6z + 1)x - 2y^2 + 4yz + y - 2z$

次に、定数項である $-2y^2 + 4yz + y - 2z$ を因数分解できるか試します。

$-2y^2 + 4yz + y - 2z = -2y(y - 2z) + (y - 2z) = (y - 2z)(-2y + 1)$

すると、式は以下のようになります。

$3x^2 + (y - 6z + 1)x + (y - 2z)(-2y + 1)$

ここで、因数分解の形を $(ax + by + cz + d)(ex + fy + gz + h)$ と仮定します。

定数項が $(y - 2z)(-2y + 1)$ であることから、

$(3x + ay + bz + c)(x + dy + ez + f)$ の形を試みます。

$(3x + ay + bz + c)(x + dy + ez + f) = 3x^2 + (3dy + 3ez + 3f + ay + bz + c)x + \cdots$

$x$の係数から、$3d + a = 1$ かつ $3e + b = -6$ かつ $3f + c = 1$ が得られます。

定数項の因数分解の結果から $ad= -2$, $be = 4$, $cf = -2$ が分かります。

さらに考察を進め、$3x^2 + (y - 6z + 1)x + (y - 2z)(-2y + 1)$ を $(3x -2y + 1)(x + y - 2z)$ と仮定して展開してみます。

$(3x - 2y + 1)(x + y - 2z) = 3x^2 + 3xy - 6xz - 2xy - 2y^2 + 4yz + x + y - 2z = 3x^2 + xy - 6xz - 2y^2 + 4yz + x + y - 2z$

これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - 2y + 1)(x + y - 2z)$