$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{ab-cd}{ab+cd} = \frac{a^2-c^2}{a^2+c^2}$ を証明する。

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{ab-cd}{ab+cd} = \frac{a^2-c^2}{a^2+c^2}$ を証明する。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、 $a = bk$, $c = dk$ と表せる。

左辺に代入すると、

$\frac{ab-cd}{ab+cd} = \frac{b^2k-d^2k}{b^2k+d^2k} = \frac{k(b^2-d^2)}{k(b^2+d^2)} = \frac{b^2-d^2}{b^2+d^2}$

右辺に代入すると、

$\frac{a^2-c^2}{a^2+c^2} = \frac{(bk)^2 - (dk)^2}{(bk)^2 + (dk)^2} = \frac{b^2k^2-d^2k^2}{b^2k^2+d^2k^2} = \frac{k^2(b^2-d^2)}{k^2(b^2+d^2)} = \frac{b^2-d^2}{b^2+d^2}$

したがって、左辺と右辺が等しいので、与えられた等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{ab-cd}{ab+cd} = \frac{a^2-c^2}{a^2+c^2}$ は成り立つ。