与えられた2つの数列の一般項を推測する問題です。 (1) 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... (2) $1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, ...$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の一般項を推測する問題です。

(1) 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

(2) $1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, ...$

2. 解き方の手順

(1) の数列は、0, 2, 4, 6, 8, 10, ... と並んでいます。これは偶数の数列であり、初項が0なので、$n$番目の項は、$2(n-1)$と表せます。ただし、$n=1, 2, 3, ...$ です。

(2) の数列は、$1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, ...$ と並んでいます。

まず、分母に注目すると、1, 3, 5, 7, 9, ... となっています。これは奇数の数列なので、$2n-1$と表せます。ただし、$n=1, 2, 3, ...$ です。

次に、符号に注目すると、+, -, +, -, +,... と交互に変化しています。これは$(-1)^{n-1}$と表せます。

したがって、$n$番目の項は、$\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ と表せます。

3. 最終的な答え

(1) $2(n-1)$

(2) $\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$