与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ (2) $\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} - 3}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(2) $\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} - 3}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に共役な複素数を掛けることによって行います。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ です。

したがって、分子と分母に $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ です。

したがって、分子と分母に $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} - 3}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{7} + 3$ です。

したがって、分子と分母に $\sqrt{7} + 3$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} - 3} = \frac{(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} + 3)}{(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3)} = \frac{(\sqrt{7} + 3)^2}{7 - 9} = \frac{7 + 6\sqrt{7} + 9}{-2} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{-2} = -8 - 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

(3) $-8 - 3\sqrt{7}$