与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}-3}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}-3}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ なので、$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) 分母が $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ なので、$\sqrt{7}+\sqrt{2}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2} = \frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

(3) 分母が $\sqrt{7}-3$ なので、$\sqrt{7}+3$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}-3} = \frac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}-3} \times \frac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}+3} = \frac{(\sqrt{7}+3)^2}{(\sqrt{7})^2 - 3^2} = \frac{(\sqrt{7})^2 + 2(\sqrt{7})(3) + 3^2}{7-9} = \frac{7 + 6\sqrt{7} + 9}{-2} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{-2} = -8 - 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

(3) $-8-3\sqrt{7}$