(3) 次の列ベクトル $\mathbf{a}$ が列ベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の1次結合で表されるような $a, b$ の条件を求める問題です。 ここで、 $$ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ b \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$ です。

1. 問題の内容

(3) 次の列ベクトル $\mathbf{a}$ が列ベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の1次結合で表されるような $a, b$ の条件を求める問題です。

ここで、

$$$$

\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ b \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

$$$$

です。

2. 解き方の手順

$\mathbf{a}$ が $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の1次結合で表されるとは、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$$$$

\mathbf{a} = c_1 \mathbf{b}_1 + c_2 \mathbf{b}_2

$$$$

が成り立つということです。これを成分で書き下すと、

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\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ b \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + 2c_2 \\ -c_1 + c_2 \\ c_1 + 3c_2 \end{pmatrix}

$$$$

となり、次の連立方程式が得られます。

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\begin{cases}

c_1 + 2c_2 = 0 \\

-c_1 + c_2 = a \\

c_1 + 3c_2 = b

\end{cases}

$$$$

この連立方程式を解くために、拡大係数行列を考えます。

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\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & a \\ 1 & 3 & b \end{pmatrix}

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この行列を簡約化します。まず、2行目に1行目を足し、3行目から1行目を引きます。

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\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 1 & b \end{pmatrix}

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次に、3行目から2行目の1/3を引きます。

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\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 0 & b - \frac{a}{3} \end{pmatrix}

$$$$

連立方程式が解を持つためには、$b - \frac{a}{3} = 0$ でなければなりません。したがって、$b = \frac{a}{3}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a$ と $b$ の関係は、

$b = \frac{a}{3}$

です。