与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を用いて積分を計算します。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log(x^2 + 1)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log(x^2 + 1) \, dx = x \log(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = x \log(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$

次に、$\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$ を計算します。

$\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}$

したがって、$\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx = \int (2 - \frac{2}{x^2 + 1}) \, dx = 2x - 2 \arctan(x) + C$

ゆえに、$\int \log(x^2 + 1) \, dx = x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$

теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx = [x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x)]_{0}^{1}$

$= (1 \cdot \log(1^2 + 1) - 2 \cdot 1 + 2 \arctan(1)) - (0 \cdot \log(0^2 + 1) - 2 \cdot 0 + 2 \arctan(0))$

$= \log(2) - 2 + 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$