$xy$平面において、不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ の表す領域を$D$とする。 (1) 領域$D$を$xy$平面上に図示せよ。 (2) 点$(x, y)$が領域$D$を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面において、不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ の表す領域を$D$とする。

(1) 領域$D$を$xy$平面上に図示せよ。

(2) 点$(x, y)$が領域$D$を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ を因数分解する。

$3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 = (x+2y-3)(3x+y-2) \le 0$

したがって、領域$D$は、

$x+2y-3 \ge 0$ かつ $3x+y-2 \le 0$

または

$x+2y-3 \le 0$ かつ $3x+y-2 \ge 0$

を満たす領域である。

次に、$x^2+y^2 = k$とおく。これは原点を中心とする半径$\sqrt{k}$の円を表す。

領域$D$と円$x^2+y^2=k$が共有点を持つような最小の$k$を求めれば良い。

$x+2y-3=0$と$3x+y-2=0$の交点を求めると、

$x+2y=3$と$3x+y=2$を連立して解くと、

$x+2y=3$

$6x+2y=4$

$5x=1$より$x=\frac{1}{5}$

$y=2-3x = 2-\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$

したがって、交点は$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$である。

境界線$3x+y-2=0$または$x+2y-3=0$に、$x^2+y^2$の最小値を与える点がある。

$x^2+y^2$は原点からの距離の二乗なので、原点から直線までの距離を求める。

原点から直線$3x+y-2=0$までの距離は

$\frac{|3(0)+0-2|}{\sqrt{3^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

したがって、このとき $x^2+y^2=(\frac{\sqrt{10}}{5})^2 = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

原点から直線$x+2y-3=0$までの距離は

$\frac{|0+2(0)-3|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

したがって、このとき $x^2+y^2=(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$

交点$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$のとき、$x^2+y^2 = (\frac{1}{5})^2+(\frac{7}{5})^2 = \frac{1}{25} + \frac{49}{25} = \frac{50}{25} = 2$

$3x+y-2=0$上の点で、$x^2+y^2$を最小にする点を考える。$y=2-3x$を代入して、

$f(x)=x^2 + (2-3x)^2 = x^2+4-12x+9x^2 = 10x^2-12x+4$

$f'(x)=20x-12=0$より、$x=\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

$y = 2-3x = 2 - 3(\frac{3}{5}) = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}$

$x^2+y^2 = (\frac{3}{5})^2+(\frac{1}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{1}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

$x+2y-3 = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} -3 = 1-3 = -2 < 0$

$x+2y-3=0$上の点で、$x^2+y^2$を最小にする点を考える。$x=3-2y$を代入して、

$g(y)=(3-2y)^2+y^2 = 9-12y+4y^2+y^2 = 5y^2-12y+9$

$g'(y)=10y-12=0$より、$y=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$

$x=3-2(\frac{6}{5}) = 3-\frac{12}{5} = \frac{3}{5}$

$x^2+y^2 = (\frac{3}{5})^2+(\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{36}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$

$3x+y-2 = \frac{9}{5}+\frac{6}{5}-2 = \frac{15}{5}-2 = 3-2 = 1>0$

領域$D$は$(x+2y-3)(3x+y-2) \le 0$より、$x=\frac{2}{5}$、$y=\frac{4}{5}$のとき$x^2+y^2$は最小値$\frac{4}{5}$となる。

3. 最終的な答え

$x=\frac{2}{5}$、 $y=\frac{4}{5}$のとき、最小値$\frac{4}{5}$