不等式 $a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ を証明し、等号が成り立つ場合を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ を証明し、等号が成り立つ場合を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形する。

$a^2 - ab + b^2 - a - b + 1 \geq 0$

両辺に2をかけて、平方完成を目指す。

$2a^2 - 2ab + 2b^2 - 2a - 2b + 2 \geq 0$

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \geq 0$

$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0$

2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立つ。

等号が成立するのは、

$a - b = 0$ かつ $a - 1 = 0$ かつ $b - 1 = 0$ が成り立つとき。

すなわち、$a = b = 1$ のとき。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ は証明された。

等号が成り立つのは $a = b = 1$ のとき。