不等式 $a^2 - ab + b^2 \ge a + b - 1$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - ab + b^2 \ge a + b - 1$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

不等式の右辺を左辺に移項し、平方完成を行うことを目指す。

$a^2 - ab + b^2 - a - b + 1 \ge 0$

両辺に4をかけて、式を整理する。

$4a^2 - 4ab + 4b^2 - 4a - 4b + 4 \ge 0$

$(4a^2 - 4ab + b^2) + 3b^2 - 4a - 4b + 4 \ge 0$

$(2a - b)^2 - 4a - 4b + 3b^2 + 4 \ge 0$

次に、$2a-b$ の項と $-4a$ の項に着目し、$-4a = -2(2a-b) - 2b$ であることを用いる。

$(2a-b)^2 - 2(2a-b) - 2b - 4b + 3b^2 + 4 \ge 0$

$(2a-b)^2 - 2(2a-b) + 1 - 1 - 6b + 3b^2 + 4 \ge 0$

$(2a-b-1)^2 + 3b^2 - 6b + 3 \ge 0$

$(2a-b-1)^2 + 3(b^2 - 2b + 1) \ge 0$

$(2a-b-1)^2 + 3(b-1)^2 \ge 0$

$(2a - b - 1)^2$ と $(b - 1)^2$ はどちらも実数の二乗なので、必ず0以上となる。したがって、$(2a - b - 1)^2 + 3(b - 1)^2 \ge 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(2a-b-1)^2 = 0$ かつ $(b-1)^2 = 0$ のときである。

$b-1 = 0$ より、$b = 1$。

$2a - b - 1 = 0$ に $b = 1$ を代入すると、$2a - 1 - 1 = 0$ より $2a = 2$ となるので、$a = 1$。

したがって、$a = 1$ かつ $b = 1$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - ab + b^2 \ge a + b - 1$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = 1$ かつ $b = 1$ のときである。