次の2次関数の最大値、最小値を指定された範囲内で求めます。 (a) $y = 2x^2 - 8x + 5$ ($0 \le x \le 3$) (b) $y = -x^2 - 2x + 2$ ($-3 \le x \le -2$)

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値、最小値を指定された範囲内で求めます。

(a) $y = 2x^2 - 8x + 5$ ($0 \le x \le 3$)

(b) $y = -x^2 - 2x + 2$ ($-3 \le x \le -2$)

2. 解き方の手順

(a) $y = 2x^2 - 8x + 5$ ($0 \le x \le 3$)

1. 平方完成を行います。

$y = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x - 2)^2 - 8 + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$

2. 頂点の座標は$(2, -3)$です。軸は $x = 2$ です。

3. 定義域は $0 \le x \le 3$ です。

4. $x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 8(0) + 5 = 5$

5. $x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 - 8(3) + 5 = 18 - 24 + 5 = -1$

6. 頂点の $x$ 座標である $x = 2$ は定義域に含まれています。

7. よって、最小値は $y = -3$ ($x = 2$ のとき) であり、最大値は $y = 5$ ($x = 0$ のとき) です。

(b) $y = -x^2 - 2x + 2$ ($-3 \le x \le -2$)

1. 平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 2x) + 2 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2 = -(x + 1)^2 + 1 + 2 = -(x + 1)^2 + 3$

2. 頂点の座標は$(-1, 3)$です。軸は $x = -1$ です。

3. 定義域は $-3 \le x \le -2$ です。

4. $x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$

5. $x = -2$ のとき、$y = -(-2)^2 - 2(-2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$

6. 頂点の $x$ 座標である $x = -1$ は定義域に含まれていません。

7. 関数は区間内で単調減少です。

8. よって、最大値は $y = 2$ ($x = -2$ のとき) であり、最小値は $y = -1$ ($x = -3$ のとき) です。

3. 最終的な答え

(a) 最大値: $5$ ($x = 0$), 最小値: $-3$ ($x = 2$)

(b) 最大値: $2$ ($x = -2$), 最小値: $-1$ ($x = -3$)