与えられた式 $x^2 - 5xy + 6y^2 + 2x - 7y - 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 5xy + 6y^2 + 2x - 7y - 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理し、因数分解できる形にすることを試みます。

$x^2 - 5xy + 6y^2 + 2x - 7y - 3 = x^2 + (-5y + 2)x + (6y^2 - 7y - 3)$

次に、定数項 $6y^2 - 7y - 3$ を因数分解します。

$6y^2 - 7y - 3 = (2y - 3)(3y + 1)$

ここで、$x^2 + (-5y + 2)x + (2y - 3)(3y + 1)$ が $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定します。

すると、$ac = 6$、$ad + bc = -7$、$bd = -3$ であり、$a + c = -5$、$b + d = 2$ となります。

$2y - 3$と$3y + 1$の組み合わせから、

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1) = x^2 + 3xy + x + 2xy + 6y^2 + 2y - 3x - 9y - 3 = x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$

係数の符号が合わないので、$(2y-3)$ と $(3y+1)$ の符号を変えることを考えます。

$(x - 2y + 3)(x - 3y - 1) = x^2 - 3xy - x - 2xy + 6y^2 + 2y + 3x - 9y - 3 = x^2 - 5xy + 6y^2 + 2x - 7y - 3$

これで与えられた式と一致しました。

3. 最終的な答え

$(x - 2y + 3)(x - 3y - 1)$