(1) 全ての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 全ての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a = 0$ のとき、与式は $x < 0$ となり、全ての実数 $x$ で成り立つわけではないので、$a \neq 0$ である。

次に、$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が全ての実数 $x$ で成り立つためには、

i) $a < 0$

ii) 判別式 $D < 0$

の2つの条件が必要である。

判別式 $D$ は、

$D = (a+1)^2 - 4a^2 = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1$

$D < 0$ より

$-3a^2 + 2a + 1 < 0$

$3a^2 - 2a - 1 > 0$

$(3a + 1)(a - 1) > 0$

$a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$

i)の条件 $a < 0$ と合わせると、$a < -\frac{1}{3}$

(2)

$ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるから、$a < 0$ であり、$ax^2 + 8x + b = 0$ の解が $x = -1$ と $x = 5$ である。

したがって、$ax^2 + 8x + b = a(x + 1)(x - 5) = a(x^2 - 4x - 5)$ となる。

$ax^2 + 8x + b = ax^2 - 4ax - 5a$ であるから、$8 = -4a$ かつ $b = -5a$ が成り立つ。

$8 = -4a$ より $a = -2$

$b = -5a = -5(-2) = 10$

3. 最終的な答え

(1) $a < -\frac{1}{3}$

(2) $a = -2$, $b = 10$