与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ (2) $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$

(2) $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ の場合

まず、分母を $(1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}$ と見て、$(1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}} = \frac{(1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}}{((1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6})((1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6})} = \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{1 + 2\sqrt{5} + 5 - 6} = \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、$\sqrt{5}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2(\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$

(2) $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の場合

分母を $(1 + \sqrt{3}) + \sqrt{2}$ と見て、$(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})}{((1 + \sqrt{3}) + \sqrt{2})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})} = \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2} = \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{2 + 2\sqrt{3}}$

$(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 1 + 2 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} = 6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

$\frac{6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{2 + 2\sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$

次に、$1 - \sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ の場合

まず、分母を $(3 + \sqrt{3}) + \sqrt{6}$ と見て、$(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}}{((3 + \sqrt{3}) + \sqrt{6})((3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6})} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{(3 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{9 + 6\sqrt{3} + 3 - 6} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6 + 6\sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})}$

次に、$1 - \sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})} = \frac{(3 + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{6(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{6} + \sqrt{18}}{6(1 - 3)} = \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{-12} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$

(2) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$