与えられた多項式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解することを試みます。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解することを試みます。

2. 解き方の手順

与えられた多項式を $x$ について整理します。

$3x^2 + (2y + 7)x + (-y^2 + 3y + 4)$

次に、定数項 $-y^2 + 3y + 4$ を因数分解します。

$-y^2 + 3y + 4 = -(y^2 - 3y - 4) = -(y - 4)(y + 1)$

よって、多項式は以下のようになります。

$3x^2 + (2y + 7)x - (y - 4)(y + 1)$

この式を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解することを考えます。

$x^2$ の係数が 3 なので、$a = 3$, $d = 1$ とします。

定数項が $- (y - 4)(y + 1)$ なので、$by + c = m(y-4)$, $ey + f = n(y+1)$ とおくと、$mn = -1$となります。

$(3x + m(y-4))(x + n(y+1))$

展開すると

$3x^2 + 3n(y+1)x + m(y-4)x + mn(y-4)(y+1)$

$= 3x^2 + (3n(y+1) + m(y-4))x + mn(y^2 - 3y - 4)$

$= 3x^2 + (3n + m)y x + (3n - 4m)x - mn(y^2 - 3y - 4)$

$mn = -1$ より $m = -1$, $n = 1$ または $m = 1$, $n = -1$ となります。

$m = -1, n = 1$ の場合:

$3n + m = 3(1) + (-1) = 2$

$3n - 4m = 3(1) - 4(-1) = 7$

となり、$2y + 7$ の $2y$ と $7$ に一致します。

よって、$m = -1, n = 1$ が正しいです。

$(3x + (-1)(y - 4))(x + (1)(y + 1)) = (3x - y + 4)(x + y + 1)$

3. 最終的な答え

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$