$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ (2) $\alpha - \frac{1}{\alpha}$ (3) $\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ (4) $\alpha^5 + \frac{1}{\alpha^5}$

1. 問題の内容

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$

(2) $\alpha - \frac{1}{\alpha}$

(3) $\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$

(4) $\alpha^5 + \frac{1}{\alpha^5}$

2. 解き方の手順

(1) $(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2$ を計算すると、

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 = \alpha^2 + 2 + \frac{1}{\alpha^2}$ となる。

よって、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = (\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 - 2$ である。

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$ を代入すると、

$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

(2) $(\alpha - \frac{1}{\alpha})^2$ を計算すると、

$(\alpha - \frac{1}{\alpha})^2 = \alpha^2 - 2 + \frac{1}{\alpha^2}$ となる。

よって、$(\alpha - \frac{1}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} - 2$ である。

(1)より$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = 7$ なので、

$(\alpha - \frac{1}{\alpha})^2 = 7 - 2 = 5$ である。

したがって、$\alpha - \frac{1}{\alpha} = \pm \sqrt{5}$

(3) $(\alpha + \frac{1}{\alpha})^3$ を計算すると、

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2(\frac{1}{\alpha}) + 3\alpha(\frac{1}{\alpha^2}) + \frac{1}{\alpha^3} = \alpha^3 + 3\alpha + \frac{3}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^3} = \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} + 3(\alpha + \frac{1}{\alpha})$

よって、$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} = (\alpha + \frac{1}{\alpha})^3 - 3(\alpha + \frac{1}{\alpha})$

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$ を代入すると、

$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$

(4) $\alpha^5 + \frac{1}{\alpha^5}$ を求めるために、$(\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2})(\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3})$ を計算すると、

$(\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2})(\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}) = \alpha^5 + \alpha^2(\frac{1}{\alpha^3}) + \frac{1}{\alpha^2}(\alpha^3) + \frac{1}{\alpha^5} = \alpha^5 + \frac{1}{\alpha} + \alpha + \frac{1}{\alpha^5} = \alpha^5 + \frac{1}{\alpha^5} + (\alpha + \frac{1}{\alpha})$

よって、$\alpha^5 + \frac{1}{\alpha^5} = (\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2})(\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}) - (\alpha + \frac{1}{\alpha})$

(1)より$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = 7$、(3)より$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} = 18$、$\alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$ を代入すると、

$\alpha^5 + \frac{1}{\alpha^5} = (7)(18) - 3 = 126 - 3 = 123$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) $\pm \sqrt{5}$

(3) 18

(4) 123