与えられた二つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ (2) $1 - 8x^3 - 18xy - 27y^3$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + y^3 - 3xy + 1$

(2) $1 - 8x^3 - 18xy - 27y^3$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解するために、$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の公式を利用します。

式を $x^3+y^3+1^3-3xy(1)$ と変形できます。

ここで、$a=x, b=y, c=1$ とすると、

$x^3+y^3+1^3-3xy(1) = (x+y+1)(x^2+y^2+1^2-xy-y(1)-x(1))$

$= (x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-y-x)$

(2)

$1 - 8x^3 - 18xy - 27y^3$ を因数分解するために、同様に$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の公式を利用します。

式を$1^3+(-2x)^3+(-3y)^3-3(1)(-2x)(-3y)$ と変形できます。

ここで、$a=1, b=-2x, c=-3y$ とすると、

$1^3+(-2x)^3+(-3y)^3-3(1)(-2x)(-3y) = (1-2x-3y)(1^2+(-2x)^2+(-3y)^2-(1)(-2x)-(-2x)(-3y)-(1)(-3y))$

$= (1-2x-3y)(1+4x^2+9y^2+2x-6xy+3y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$

(2) $(1-2x-3y)(1+4x^2+9y^2+2x-6xy+3y)$