関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ について、$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ であるとき、$y$ の変域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ について、$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ であるとき、$y$ の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ は、上に凸な放物線です。$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ であるとき、$x=1$ および $x=3$ のときの $y$ の値を計算します。

$x=1$ のとき、

$y = -\frac{2}{3}(1)^2 = -\frac{2}{3}$

$x=3$ のとき、

$y = -\frac{2}{3}(3)^2 = -\frac{2}{3} \times 9 = -6$

上に凸な放物線なので、$x$ が $1$ から $3$ まで増加するとき、$y$ の値は $-6$ から $-\frac{2}{3}$ まで増加します。したがって、$y$ の変域は $-6 \le y \le -\frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-6 \le y \le -\frac{2}{3}$