$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ の $a^3 + b^3$ の部分に、与えられた等式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を適用します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

次に、$(a+b)^3 + c^3$ の部分を考えます。これは $X^3 + Y^3 = (X+Y)(X^2 - XY + Y^2)$ の公式を利用できます。ここで、$X = a+b$、$Y = c$ と置くと、

$(a+b)^3 + c^3 = (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2)$

これを展開すると、

$(a+b)^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2)$

したがって、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ は、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2) - 3ab(a+b) - 3abc$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc) - 3ab(a+b+c)$

共通因数 $(a+b+c)$ でくくると、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

3. 最終的な答え

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$