3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 問題文の穴埋めを解く。

* $x=1+2i$ を $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ に代入する。

$(1+2i)^3 + a(1+2i)^2 + b(1+2i) - 10 = 0$

$1 + 6i - 12 - 8i + a(1 + 4i - 4) + b(1+2i) - 10 = 0$

$-11 - 2i + a(-3 + 4i) + b(1+2i) - 10 = 0$

$(-11 - 3a + b - 10) + (-2 + 4a + 2b)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0になるので、

$-3a + b - 21 = 0$

$4a + 2b - 2 = 0$

これを解くと、$a = -3, b = 12$ である。

* 1つの解が $1+2i$ なので、共役な複素数 $1-2i$ も解にもつ2次方程式を考える。

$(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = x^2 - 2x + 5 = 0$

よって、$x^2 - 2x + 5 = 0$ である。

* $x^3 + ax^2 + bx - 10$ を $x^2 - 2x + 5$ で割る。

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = (x^2 - 2x + 5)(x + c)$ とおく。

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = x^3 + (c-2)x^2 + (5-2c)x + 5c$

係数を比較して、

$a = c - 2$

$b = 5 - 2c$

$-10 = 5c$

$c = -2$

よって、$a = -4, b = 9$

* $x^3 + ax^2 + bx - 10 = (x - c)(x^2 - 2x + 5)$ において、恒等式として考える。

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = x^3 - (c+2)x^2 + (5+2c)x - 5c$

$a = -(c+2)$

$b = 5 + 2c$

$-10 = -5c$

$c = 2$

よって、$a = -4, b = 9$

(2) 太郎さんの方法で解く。

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = (x - c)(x^2 - 2x + 5)$ において、$x=c$ がもう一つの解。

3. 最終的な答え

アイ: -3

ウエ: 12

オ: -4

カ: 9

キ: 2

クケ: -4

コ: 9

サ: 1-2i

ヌ: 1-2i

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