$x = \sqrt{5} - \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (i) $x + y$ (ii) $xy$ (iii) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} - \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(i) $x + y$

(ii) $xy$

(iii) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(i) $x + y$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3} = 2\sqrt{5}$

(ii) $xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$

これは和と差の積なので、 $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = \alpha^2 - \beta^2$ の公式を利用できます。

$xy = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

(iii) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2$ を求めるには、 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ の式を変形して $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を用います。

既に $x+y$ と $xy$ の値は計算済みなので、これらを代入します。

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(2) = 4 \times 5 - 4 = 20 - 4 = 16$

3. 最終的な答え

(i) $x + y = 2\sqrt{5}$

(ii) $xy = 2$

(iii) $x^2 + y^2 = 16$