この問題は、2次不等式の解に関する3つの小問から構成されています。 (1) 2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数となるような、$m$ の範囲を求めます。 (2) 2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ となるような、$a$ と $b$ の値を求めます。 (3) 不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ を満たす整数 $x$ の個数を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、2次不等式の解に関する3つの小問から構成されています。

(1) 2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数となるような、$m$ の範囲を求めます。

(2) 2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ となるような、$a$ と $b$ の値を求めます。

(3) 不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ を満たす整数 $x$ の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数となるのは、判別式 $D$ が $D < 0$ となるときです。

$D = m^2 - 4(3m - 5) = m^2 - 12m + 20$

$m^2 - 12m + 20 < 0$ を解くと、

$(m - 2)(m - 10) < 0$

よって、$2 < m < 10$ となります。

(2)

2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であることから、まず $a < 0$ である必要があります。

$ax^2 + bx + 2 = a(x + 1)(x - 2) = a(x^2 - x - 2) = ax^2 - ax - 2a$

係数を比較すると、$b = -a$ および $2 = -2a$ が成り立ちます。

$2 = -2a$ より、$a = -1$

$b = -a$ より、$b = 1$

(3)

不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ を解きます。

$-7 < x^2 + 2x - 8 < 7$

まず、$x^2 + 2x - 8 < 7$ を解くと、

$x^2 + 2x - 15 < 0$

$(x + 5)(x - 3) < 0$

$-5 < x < 3$

次に、$-7 < x^2 + 2x - 8$ を解くと、

$x^2 + 2x - 1 > 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$x < -1 - \sqrt{2}$ または $x > -1 + \sqrt{2}$

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから、

$x < -2.414$ または $x > 0.414$

$-5 < x < 3$ と $x < -2.414$ または $x > 0.414$ の共通範囲は、

$-5 < x < -2.414$ または $0.414 < x < 3$

この範囲にある整数 $x$ は、$-4, -3, 1, 2$ の4個です。

3. 最終的な答え

(1) ア = 2, イウ = 10

(2) エオ = -1, カ = 1

(3) キ = 4