与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の2次式部分を因数分解することを試みます。

$6x^2 + 7xy + 2y^2$ を因数分解すると、$(2x+y)(3x+2y)$ となります。

したがって、与えられた式は

$(2x+y)(3x+2y) + x - 2$

の形になります。

次に、定数項が-2であることから、$(2x+y+a)(3x+2y+b)$の形で因数分解できると仮定します。

ただし、$ab=-2$です。

この式を展開すると、

$6x^2 + 4xy + 2bx + 3xy + 2y^2 + by + 3ax + 2ay + ab = 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (3a+2b)x + (2a+b)y + ab$

与えられた式と比較すると、

$3a + 2b = 1$

$2a + b = 0$

$ab = -2$

$2a+b=0$より、$b=-2a$。これを$3a+2b=1$に代入すると、

$3a + 2(-2a) = 1$

$3a - 4a = 1$

$-a = 1$

$a = -1$

したがって、$b = -2(-1) = 2$

このとき、$ab = (-1)(2) = -2$ となり、条件を満たします。

したがって、与えられた式は

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$