2重根号を外して式を簡単にすることを求められています。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

2重根号を外して式を簡単にすることを求められています。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$の形に変形します。

$7+2\sqrt{10} = 5+2+2\sqrt{5\cdot2}$

したがって、$a=5, b=2$と考えることができます。

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$の形に変形します。

まず、$6\sqrt{3}$を$2\sqrt{ }$の形にします。

$6\sqrt{3} = 2\cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{9\cdot3} = 2\sqrt{27}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

$\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$の公式を利用します。

$\sqrt{3+\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{3^2-5}}{2}} + \sqrt{\frac{3-\sqrt{3^2-5}}{2}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{4}}{2}} + \sqrt{\frac{3-\sqrt{4}}{2}} = \sqrt{\frac{3+2}{2}} + \sqrt{\frac{3-2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$