100円、10円、5円の硬貨が合計50枚あり、合計金額が2000円である。それぞれの硬貨の枚数を求める。

1. 問題の内容

100円、10円、5円の硬貨が合計50枚あり、合計金額が2000円である。それぞれの硬貨の枚数を求める。

2. 解き方の手順

100円硬貨の枚数を $x$ 、10円硬貨の枚数を $y$ 、5円硬貨の枚数を $z$ とする。

枚数の合計に関する式と、金額の合計に関する式を立てる。

枚数の合計に関する式は次のようになる：

$x + y + z = 50$

金額の合計に関する式は次のようになる：

$100x + 10y + 5z = 2000$

この連立方程式を解く。

まず、2番目の式を5で割ると：

$20x + 2y + z = 400$

次に、この式から最初の式を引くと：

$(20x + 2y + z) - (x + y + z) = 400 - 50$

$19x + y = 350$

$y = 350 - 19x$

ここで、$y$ は10円硬貨の枚数なので、0以上の整数である。また、$x$ と $z$ も0以上の整数である。

$x + y + z = 50$ より、$x \le 50$, $y \le 50$, $z \le 50$ である。

$y = 350 - 19x \ge 0$ より、$19x \le 350$, $x \le \frac{350}{19} \approx 18.42$ となる。

$x$ は整数なので、$0 \le x \le 18$ となる。

また、$z = 50 - x - y = 50 - x - (350 - 19x) = 18x - 300$

$z \ge 0$ より、$18x \ge 300$, $x \ge \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \approx 16.67$ となる。

$x$ は整数なので、$17 \le x \le 18$ となる。

$x = 17$ のとき、$y = 350 - 19(17) = 350 - 323 = 27$

$z = 18(17) - 300 = 306 - 300 = 6$

$x+y+z = 17+27+6 = 50$ となり、条件を満たす。

$x = 18$ のとき、$y = 350 - 19(18) = 350 - 342 = 8$

$z = 18(18) - 300 = 324 - 300 = 24$

$x+y+z = 18+8+24 = 50$ となり、条件を満たす。

金額を確認すると、$100(17) + 10(27) + 5(6) = 1700 + 270 + 30 = 2000$

$100(18) + 10(8) + 5(24) = 1800 + 80 + 120 = 2000$

どちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

100円硬貨が17枚、10円硬貨が27枚、5円硬貨が6枚

または

100円硬貨が18枚、10円硬貨が8枚、5円硬貨が24枚