数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定められている。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、以下の問いに答える。 (1) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定められている。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、以下の問いに答える。

(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$

また、$a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ であるから、

$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 4(n+1) - 4 = 2a_{n+1} + 4n$

したがって、

$b_{n+1} = (2a_{n+1} + 4n) - a_{n+1} = a_{n+1} + 4n$

ここで、$a_{n+1} = a_n + b_n$ より、

$b_{n+1} = a_n + b_n + 4n$

また、$a_n = \frac{a_{n+1} - 4n + 4}{2}$ より、

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1} - 4n + 4}{2} + b_n + 4n$

$2b_{n+1} = a_{n+1} - 4n + 4 + 2b_n + 8n$

$2b_{n+1} = a_{n+1} + 2b_n + 4n + 4$

$a_{n+1} = b_n + a_n$ より、

$a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ なので、$b_n = a_{n+1} - a_n = (2a_n + 4n - 4) - a_n = a_n + 4n - 4$.

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = (2a_{n+1} + 4(n+1) - 4) - (2a_n + 4n - 4) = 2a_{n+1} + 4n + 4 - 4 - 2a_n - 4n + 4 = 2(a_{n+1} - a_n) + 4 = 2b_n + 4$

(2)

$b_{n+1} = 2b_n + 4$

$b_{n+1} + 4 = 2(b_n + 4)$

数列 $\{b_n + 4\}$ は公比 2 の等比数列。

$b_1 = a_2 - a_1 = (2a_1 + 4(1) - 4) - a_1 = 2(1) + 4 - 4 - 1 = 1$

$b_1 + 4 = 1 + 4 = 5$

$b_n + 4 = 5 \cdot 2^{n-1}$

$b_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 4$

(3)

$b_n = a_{n+1} - a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 4$

$a_{n+1} = a_n + 5 \cdot 2^{n-1} - 4$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (5 \cdot 2^{k-1} - 4)$

$a_n = 1 + 5 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n-1} 4$

$a_n = 1 + 5 \frac{2^{n-1} - 1}{2-1} - 4(n-1) = 1 + 5(2^{n-1} - 1) - 4n + 4 = 1 + 5 \cdot 2^{n-1} - 5 - 4n + 4 = 5 \cdot 2^{n-1} - 4n$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 2b_n + 4$

(2) $b_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 4$

(3) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 4n$