数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ $(n = 1, 2, 3, ...)$ で定められている。 (1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ $(n = 1, 2, 3, ...)$ で定められている。

(1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ より、$a_n = \frac{1}{b_n}$ である。

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ に代入すると、

$\frac{1}{b_{n+1}} = \frac{2(\frac{1}{b_n})}{\frac{1}{b_n} + 2}$

$\frac{1}{b_{n+1}} = \frac{\frac{2}{b_n}}{\frac{1+2b_n}{b_n}} = \frac{2}{1+2b_n}$

よって、

$b_{n+1} = \frac{1+2b_n}{2} = \frac{1}{2} + b_n$

(2) (1)より、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$ なので、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$、公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列である。

したがって、

$b_n = 1 + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}$

$a_n = \frac{1}{b_n}$ より、

$a_n = \frac{2}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$

(2) $a_n = \frac{2}{n+1}$