数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が条件 $S_n = 4n - 3a_n$ を満たすとする。 (1) 初項 $a_1$ を求めよ。 (2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が条件 $S_n = 4n - 3a_n$ を満たすとする。

(1) 初項 $a_1$ を求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ を求める。

$S_n = 4n - 3a_n$ において、$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ であるから、

$a_1 = 4(1) - 3a_1$

$a_1 = 4 - 3a_1$

$4a_1 = 4$

$a_1 = 1$

(2) 一般項 $a_n$ を求める。

$S_n = 4n - 3a_n$

$S_{n-1} = 4(n-1) - 3a_{n-1}$ ($n \geq 2$)

$S_n - S_{n-1} = a_n$ であるから、$n \geq 2$ において、

$a_n = (4n - 3a_n) - (4(n-1) - 3a_{n-1})$

$a_n = 4n - 3a_n - 4n + 4 + 3a_{n-1}$

$a_n = -3a_n + 3a_{n-1} + 4$

$4a_n = 3a_{n-1} + 4$

$a_n = \frac{3}{4} a_{n-1} + 1$

$a_n - 4 = \frac{3}{4}(a_{n-1} - 4)$

$a_1 - 4 = 1 - 4 = -3$

数列 $\{a_n - 4\}$ は、初項 $a_1 - 4 = -3$, 公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列であるから、

$a_n - 4 = -3 (\frac{3}{4})^{n-1}$

$a_n = 4 - 3 (\frac{3}{4})^{n-1}$

$a_n = 4 - 3 \cdot \frac{3^{n-1}}{4^{n-1}}$

$a_n = 4 - \frac{3^n}{4^{n-1}}$

$n=1$ のとき、$a_1 = 4 - \frac{3}{1} = 1$ であり、これは $a_1 = 1$ を満たす。

したがって、$a_n = 4 - 3(\frac{3}{4})^{n-1}$ は $n \geq 1$ において成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1$

(2) $a_n = 4 - 3(\frac{3}{4})^{n-1}$