数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3^n}$ (n=1, 2, 3, ...)を満たすとする。 (1) $b_n = 2^n a_n$ とおくとき、$b_{n+1} - b_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3^n}$ (n=1, 2, 3, ...)を満たすとする。

(1) $b_n = 2^n a_n$ とおくとき、$b_{n+1} - b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1} - b_n$ を求める。

$b_n = 2^n a_n$ なので、$b_{n+1} = 2^{n+1} a_{n+1}$。

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3^n}$ を代入すると、

$b_{n+1} = 2^{n+1} (\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3^n}) = 2^n a_n + 2^{n+1} \frac{1}{3^n} = 2^n a_n + 2(\frac{2}{3})^n$

$b_{n+1} - b_n = (2^n a_n + 2(\frac{2}{3})^n) - 2^n a_n = 2(\frac{2}{3})^n$

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

$b_{n+1} - b_n = 2(\frac{2}{3})^n$ なので、$b_n$ は階差数列である。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(\frac{2}{3})^k$ (n>=2)

$b_1 = 2^1 a_1 = 2 \cdot 1 = 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2(\frac{2}{3})^k$ は初項 $2(\frac{2}{3})$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列の和である。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2(\frac{2}{3})^k = \frac{2(\frac{2}{3}) (1 - (\frac{2}{3})^{n-1})}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{3} (1 - (\frac{2}{3})^{n-1})}{\frac{1}{3}} = 4(1 - (\frac{2}{3})^{n-1})$

$b_n = 2 + 4(1 - (\frac{2}{3})^{n-1}) = 2 + 4 - 4(\frac{2}{3})^{n-1} = 6 - 4(\frac{2}{3})^{n-1}$

$b_n = 6 - 4(\frac{2}{3})^{n-1}$

$b_n = 2^n a_n$ なので、$a_n = \frac{b_n}{2^n}$

$a_n = \frac{6 - 4(\frac{2}{3})^{n-1}}{2^n} = \frac{6 - 4 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}}}{2^n} = \frac{6 - \frac{4}{3^{n-1}} 2^{n-1}}{2^n} = \frac{6}{2^n} - \frac{4 \cdot 2^{n-1}}{2^n \cdot 3^{n-1}} = \frac{3 \cdot 2}{2^n} - \frac{4}{2 \cdot 3^{n-1}} = \frac{3}{2^{n-1}} - \frac{2}{3^{n-1}} = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2 (\frac{1}{3})^{n-1}$

n=1のとき、$a_1 = 3(\frac{1}{2})^0 - 2(\frac{1}{3})^0 = 3 - 2 = 1$ となり成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} - b_n = 2(\frac{2}{3})^n$

(2) $a_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2(\frac{1}{3})^{n-1}$