与えられた式を因数分解する問題です。今回は、(1) $x^2+yz+zx-y^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。今回は、(1) $x^2+yz+zx-y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まずは式を整理して、因数分解しやすい形にします。

$x$について整理すると、

$x^2+(y+z)x+(yz-y^2)$

となります。

ここで、定数項である$yz-y^2$を因数分解することを考えます。

$yz - y^2 = y(z-y)$

よって、

$x^2+(y+z)x+y(z-y)$

となります。

この式が因数分解できると仮定すると、$(x + a)(x + b)$ の形になるはずです。展開すると、$x^2 + (a+b)x + ab$ となります。つまり、$a+b = y+z$ かつ $ab = y(z-y)$ を満たす $a, b$ を見つければ良いことになります。

$a = y$, $b = z-y$ とすると、

$a+b = y + (z-y) = z$

となり、$a+b = y+z$とは一致しません。

ここで、$a = -y$, $b = y+z$ とすると、

$a+b = -y + (y+z) = z$

$ab = -y(y+z) = -y^2-yz$

となり、$x$の係数は $z$ 、定数項は$-y(z+y)$になりうまくいきません。

それでは、$x$ではなく、$y$について整理してみましょう。

$-y^2+(z)y+x^2+zx = 0$

$y^2-zy-(x^2+zx)$

$y^2 -zy - x(x+z)$

$y^2-zy - x(x+z)= (y+x)(y-x-z)$

よって

$x^2 + yz + zx - y^2 = (x-y+z)(x+y)$

3. 最終的な答え

$(x-y+z)(x+y)$