2つの二次関数 $f(x) = x^2 - 2x - 2$ と $g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4$ が与えられている。$y=g(x)$ のグラフは $x$ 軸と接している。このとき、$y=f(x)$ のグラフの頂点の座標と、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの二次関数 $f(x) = x^2 - 2x - 2$ と $g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4$ が与えられている。$y=g(x)$ のグラフは $x$ 軸と接している。このとき、$y=f(x)$ のグラフの頂点の座標と、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 2x - 2$ を平方完成する。

$f(x) = (x - 1)^2 - 1 - 2 = (x - 1)^2 - 3$

よって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(1, -3)$ である。

(2) $g(x)$ のグラフが $x$ 軸に接するという条件から、$a$ の値を求める。

$g(x) = x^2 - 6x + 2a + 4$ を平方完成する。

$g(x) = (x - 3)^2 - 9 + 2a + 4 = (x - 3)^2 + 2a - 5$

$y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸に接するための条件は、$2a - 5 = 0$ となることである。

$2a - 5 = 0$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(1, -3)$ である。

$a = \frac{5}{2}$