定数 $a$ があるとき、$a \le x \le a+1$ における関数 $f(x) = -2x^2 + 6x + 1$ について、最小値と最大値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ があるとき、$a \le x \le a+1$ における関数 $f(x) = -2x^2 + 6x + 1$ について、最小値と最大値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = -2x^2 + 6x + 1$ を平方完成する。

$f(x) = -2(x^2 - 3x) + 1 = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} + 1 = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{11}{2}$

したがって、この関数は $x = \frac{3}{2}$ で最大値 $\frac{11}{2}$ をとる上に凸な放物線である。

(1) 最小値を求める。

場合分けを行う。

* $a + 1 < \frac{3}{2}$ つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき、区間 $[a, a+1]$ において、$f(x)$ は単調増加であるため、最小値は $f(a) = -2a^2 + 6a + 1$ となる。

* $a \ge \frac{3}{2}$ のとき、区間 $[a, a+1]$ において、$f(x)$ は単調減少であるため、最小値は $f(a+1) = -2(a+1)^2 + 6(a+1) + 1 = -2(a^2 + 2a + 1) + 6a + 6 + 1 = -2a^2 - 4a - 2 + 6a + 7 = -2a^2 + 2a + 5$ となる。

* $a < \frac{3}{2} \le a+1$ つまり $\frac{1}{2} \le a < \frac{3}{2}$ のとき、$f(x)$ は $x = \frac{3}{2}$ で最大値を持つため、最小値は $f(a)$ または $f(a+1)$ のいずれか小さい方となる。 $f(a) - f(a+1) = (-2a^2 + 6a + 1) - (-2a^2 + 2a + 5) = 4a - 4$ である。

* $4a - 4 \ge 0$ つまり $a \ge 1$ のとき、$f(a+1) \le f(a)$ なので、最小値は $f(a+1) = -2a^2 + 2a + 5$ となる。

* $4a - 4 < 0$ つまり $\frac{1}{2} \le a < 1$ のとき、$f(a) < f(a+1)$ なので、最小値は $f(a) = -2a^2 + 6a + 1$ となる。

したがって、最小値は

$\begin{cases} -2a^2 + 6a + 1 & a < 1 \\ -2a^2 + 2a + 5 & a \ge 1 \end{cases}$

(2) 最大値を求める。

場合分けを行う。

* $a+1 \le \frac{3}{2}$ つまり $a \le \frac{1}{2}$ のとき、$f(a+1) = -2a^2+2a+5$

* $a \ge \frac{3}{2}$ のとき、$f(a) = -2a^2+6a+1$

* $a < \frac{3}{2} < a+1$ つまり $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ のとき、$f(\frac{3}{2}) = \frac{11}{2}$

したがって、最大値は

$\begin{cases} -2a^2+2a+5 & a \le \frac{1}{2} \\ \frac{11}{2} & \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2} \\ -2a^2+6a+1 & a \ge \frac{3}{2} \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) 最小値：

$\begin{cases} -2a^2 + 6a + 1 & a < 1 \\ -2a^2 + 2a + 5 & a \ge 1 \end{cases}$

(2) 最大値：

$\begin{cases} -2a^2+2a+5 & a \le \frac{1}{2} \\ \frac{11}{2} & \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2} \\ -2a^2+6a+1 & a \ge \frac{3}{2} \end{cases}$