(1) すべての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) すべての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、以下の2つの条件が必要である。

* $a < 0$ (上に凸)

* 判別式 $D = (a+1)^2 - 4a^2 < 0$

判別式について計算する。

$(a+1)^2 - 4a^2 = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 < 0$

$3a^2 - 2a - 1 > 0$

$(3a + 1)(a - 1) > 0$

よって、$a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$

$a < 0$ と $a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$ を満たす $a$ の範囲は、$a < -\frac{1}{3}$ である。

(2)

2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であることから、以下のことがわかる。

* $a < 0$

* $ax^2 + 8x + b = 0$ の解が $x = -1, 5$

よって、$a(x + 1)(x - 5) < 0$ と表せる。

$a(x^2 - 4x - 5) < 0$

$ax^2 - 4ax - 5a < 0$

$ax^2 + 8x + b > 0$ と係数を比較する。

$-4a = -8$ より $a = -2$

$-5a = -b$ より $b = 5a = -10$

よって、$a = -2, b = -10$

3. 最終的な答え

(1) $a < -\frac{1}{3}$

(2) $a = -2, b = -10$