(1) すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、$a<0$ かつ判別式 $D < 0$ である必要がある。

* $D = (a+1)^2 - 4a \cdot a = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1$

* $D < 0$ より、$-3a^2 + 2a + 1 < 0$。これは、$3a^2 - 2a - 1 > 0$ と同値。

* $(3a + 1)(a - 1) > 0$ を解くと、$a < -\frac{1}{3}$ または $1 < a$。

* $a < 0$ との共通範囲を考えると、$a < -\frac{1}{3}$。

(2)

* $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であることから、$ax^2 + 8x + b = 0$ の解は $x = -1, 5$ であることがわかる。

* 解と係数の関係より、$-1 + 5 = -\frac{8}{a}$ かつ $(-1) \cdot 5 = \frac{b}{a}$。

* $4 = -\frac{8}{a}$ より、$a = -2$。

* $-5 = \frac{b}{a}$ より、$b = -5a = -5 \cdot (-2) = 10$。

3. 最終的な答え

(1) $a < -\frac{1}{3}$

(2) $a = -2$, $b = 10$