初項が-200、公差が3の等差数列 $\{a_n\}$ があります。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。 $S_n$ が初めて正になるときの $n$ の値と、そのときの $S_n$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

初項が-200、公差が3の等差数列 $\{a_n\}$ があります。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。 $S_n$ が初めて正になるときの $n$ の値と、そのときの $S_n$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の和の公式を思い出します。

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

この問題では、$a = -200$、$d = 3$ なので、

$S_n = \frac{n}{2} (2(-200) + (n-1)3)$

$S_n = \frac{n}{2} (-400 + 3n - 3)$

$S_n = \frac{n}{2} (3n - 403)$

$S_n > 0$ となる $n$ を求めます。

$\frac{n}{2} (3n - 403) > 0$

$n > 0$ であるから、$3n - 403 > 0$

$3n > 403$

$n > \frac{403}{3} \approx 134.33$

$n$ は整数なので、$S_n$ が初めて正になるのは $n = 135$ のときです。

次に、$n = 135$ のときの $S_n$ の値を計算します。

$S_{135} = \frac{135}{2} (3(135) - 403)$

$S_{135} = \frac{135}{2} (405 - 403)$

$S_{135} = \frac{135}{2} (2)$

$S_{135} = 135$

3. 最終的な答え

$S_n$ が初めて正になるときの $n$ の値は 135 で、そのときの $S_n$ の値は 135 です。