与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式は、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ のような完全平方式ではありません。しかし、式に $0$ を加える（実際には、$2x^2y^2 - 2x^2y^2$を加える）ことで完全平方式を作ることができます。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$

$= (x^2 + y^2)^2 - (\sqrt{13}xy)^2$

この式は、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の形式です。 ここで、$a = x^2 + y^2$ で、$b = \sqrt{13}xy$ です。

したがって、式は次のように因数分解できます。

$(x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)$

または、別の方法として、

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2$

$=(x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2$

$=(x^2 - y^2 - 3xy)(x^2 - y^2 + 3xy)$

$=(x^2 - 3xy - y^2)(x^2 + 3xy - y^2)$

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$

$= (x^2+y^2)^2 - (\sqrt{13}xy)^2$

$=(x^2+y^2 - \sqrt{13}xy)(x^2+y^2 + \sqrt{13}xy)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + \sqrt{13}xy + y^2)(x^2 - \sqrt{13}xy + y^2)$ または $(x^2 - 3xy - y^2)(x^2 + 3xy - y^2)$