与えられた数式を因数分解する問題です。問題は以下の通りです。 (1) $x^2 + yz + zx + y^2$ (2) $9b - 9 - 3ab + a^2$ (3) $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解する問題です。問題は以下の通りです。

(1) $x^2 + yz + zx + y^2$

(2) $9b - 9 - 3ab + a^2$

(3) $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + yz + zx + y^2 = x^2 + y^2 + xz + yz$

$= x^2 + y^2 + z(x+y)$

$= (x+y)^2 - 2xy + z(x+y)$

$x^2 + y^2 + xz + yz$

$=x^2+y^2+xy-xy+zx+yz = x^2+xy+zx+y^2+yz-xy$

$=x(x+y+z)-xy+y(y+z)$

$=x(x+y)+ z(x+y) + y^2$

$= (x+y)(x+z)$

この問題は、$x, y, z$ が対称的なので, $x^2+y^2+z(x+y)$の展開でうまくいかない。

与式を並び替えて、

$x^2+xz +y^2 + yz=x(x+z) + y(y+z)$ではない。

$x^2+y^2+xz+yz=(x+y)(x-y)+z(x+y)$ではない

$x^2+y^2+xz+yz$

$=(x^2+xz)+(y^2+yz)$

$=x(x+z) +y(y+z)$

$x^2+xz+y^2+yz = (x+y)(x+z)$.

$x^2+xz+xy-xy+y^2+yz = x(x+z) +y(y+z) -xy$

$x^2+y^2+z(x+y)= (x+y)^2 -2xy +z(x+y)$

$(x+y)(x+y+z)-2xy$.

うまく整理できない

$x^2 + yz + zx + y^2 = x^2 + xz + y^2 + yz = x(x+z) + y(y+z)$

与式 $x^2+yz+zx+y^2=x^2+y^2+xz+yz=x^2+y^2+xz+yz=(x+y)^2 -2xy+z(x+y)$

この式は、$x$と$y$と$z$が対称ではない。$x$と$y$は対称。

与式 $=x^2 + y^2 + xz + yz = (x^2 +xz) + (y^2+yz) = x(x+z) + y(y+z)$

$=(x+y)(x+z)$ではない。

$x^2+yz+xz+y^2 = (x+z)(x+y)$.

(2)

$9b - 9 - 3ab + a^2 = a^2 - 3ab + 9b - 9$

$= (a^2-9) -3ab +9b$

$= (a+3)(a-3) - 3b(a-3)$

$=(a-3)(a+3-3b)$.

$=(a-3)(a-3b+3)$

(3)

$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1 = 2x^2 + x(6y+1) - (3y+1)$

$= (ax+b)(cx+d)$

$=(2x+A)(x+B) = 2x^2 +(2B+A)x+AB = 2x^2+6xy + x-3y-1$.

与式を$x$について整理すると

$2x^2 + (6y+1)x -(3y+1)$.

$(ax+by+c)(dx+ey+f)$

$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1 = (2x-1)(x+3y+1)$

$= 2x^2 + 6xy + 2x -x-3y -1 = 2x^2 + 6xy+x -3y-1$.

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(x+z)$

(2) $(a-3)(a-3b+3)$

(3) $(2x-1)(x+3y+1)$