等式 $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$ を証明する。

1. 問題の内容

等式 $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$ を証明する。

2. 解き方の手順

右辺を展開し、整理することで左辺と一致することを示す。

まず、右辺 $(a-b)^3 + 3ab(a-b)$ を展開する。

$(a-b)^3$ を展開すると、

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

次に、 $3ab(a-b)$ を展開すると、

$3ab(a-b) = 3a^2b - 3ab^2$

したがって、右辺は

$(a-b)^3 + 3ab(a-b) = (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (3a^2b - 3ab^2)$

整理すると、

$(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - b^3$

これは左辺と一致する。

3. 最終的な答え

$a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$