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分数の分母を有理化する問題です。 与えられた分数は $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

代数学有理化平方根分数の計算
2025/5/6

1. 問題の内容

分数の分母を有理化する問題です。
与えられた分数は 15+3\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数（ここでは共役な無理数）を分子と分母の両方に掛けます。
分母 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3} の共役な無理数は 5−3\sqrt{5} - \sqrt{3} です。したがって、分子と分母に 5−3\sqrt{5} - \sqrt{3} を掛けて、次のように計算します。
15+3=15+3⋅5−35−3\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}
=5−3(5+3)(5−3)= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}
=5−3(5)2−(3)2= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}
=5−35−3= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3}
=5−32= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

3. 最終的な答え

5−32\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

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