整式 $x^3 - x + 1$ を整式 B で割ると、商が $x + 2$、余りが $2x - 1$ であるとき、整式 B を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^3 - x + 1$ を整式 B で割ると、商が $x + 2$、余りが $2x - 1$ であるとき、整式 B を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係式は次のようになります。

(割られる式) = (割る式) × (商) + (余り)

この問題に当てはめると、

$x^3 - x + 1 = B \times (x + 2) + (2x - 1)$

となります。

まずは、この式を B について解きましょう。

$x^3 - x + 1 = B(x + 2) + 2x - 1$

$x^3 - x + 1 - (2x - 1) = B(x + 2)$

$x^3 - x + 1 - 2x + 1 = B(x + 2)$

$x^3 - 3x + 2 = B(x + 2)$

$B = \frac{x^3 - 3x + 2}{x + 2}$

次に、実際に割り算を行います。$x^3 - 3x + 2$ を $x + 2$ で割ります。

```

x^2 - 2x + 1

x + 2 | x^3 + 0x^2 - 3x + 2

-(x^3 + 2x^2)

----------------

-2x^2 - 3x

-(-2x^2 - 4x)

----------------

x + 2

-(x + 2)

--------

0

```

したがって、$x^3 - 3x + 2 = (x + 2)(x^2 - 2x + 1)$ となり、$B = x^2 - 2x + 1$ です。

3. 最終的な答え

$B = x^2 - 2x + 1$