与えられた式 $a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を、共通因数でくくりだすことを意識して変形していきます。

まず、$a^2b^2 - a^2$ の部分を $a^2$ でくくり出すと、 $a^2(b^2 - 1)$ となります。

したがって、式全体は、

$a^2(b^2 - 1) - b^2 + 1$

となります。

次に、 $-b^2 + 1$ の部分を $-(b^2 - 1)$ と変形します。

すると、式全体は、

$a^2(b^2 - 1) - (b^2 - 1)$

となります。

ここで、$b^2 - 1$ が共通因数になっているので、これでくくり出すと、

$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$

となります。

さらに、$a^2 - 1$ と $b^2 - 1$ は、それぞれ2乗の差の形をしているので、因数分解できます。

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$

したがって、式全体は、

$(a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1)$