与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $100x^2 - 25$ (2) $(2x-3y)^2 + 2x - 3y$ (3) $12x^2 - 20xy + 3y^2$ (4) $2(x-y)^2 - 7(x-y) + 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $100x^2 - 25$

(2) $(2x-3y)^2 + 2x - 3y$

(3) $12x^2 - 20xy + 3y^2$

(4) $2(x-y)^2 - 7(x-y) + 3$

2. 解き方の手順

(1) $100x^2 - 25$

これは差の平方の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$100x^2 = (10x)^2$ 、 $25 = 5^2$ なので、

$100x^2 - 25 = (10x)^2 - 5^2 = (10x + 5)(10x - 5)$

さらに、各項から5をくくり出すと、

$(10x + 5)(10x - 5) = 5(2x+1)5(2x-1) = 25(2x+1)(2x-1)$

(2) $(2x-3y)^2 + 2x - 3y$

$2x-3y = A$ とおくと、

$A^2 + A = A(A+1)$

$A$を元に戻すと、

$(2x-3y)(2x-3y+1)$

(3) $12x^2 - 20xy + 3y^2$

たすき掛けを利用します。

$12x^2$となる組み合わせは、$4x \times 3x$ や $6x \times 2x$、 $12x \times x$ などがあります。

$3y^2$となる組み合わせは、$3y \times y$です。

$4x \times 3x$ と $3y \times y$ で考えて、

$(4x - y)(3x - 3y)$

$4x \times 3x$ と $y \times 3y$ で考えて、

$(4x - 3y)(3x - y) = 12x^2 - 4xy - 9xy + 3y^2 = 12x^2 - 13xy + 3y^2$

$6x \times 2x$ と $3y \times y$ で考えて、

$(6x - y)(2x - 3y) = 12x^2 - 18xy - 2xy + 3y^2 = 12x^2 - 20xy + 3y^2$

よって、$(6x - y)(2x - 3y)$

(4) $2(x-y)^2 - 7(x-y) + 3$

$x-y = A$ とおくと、

$2A^2 - 7A + 3$

たすき掛けを利用します。

$(2A - 1)(A - 3)$

$A$を元に戻すと、

$(2(x-y) - 1)((x-y) - 3) = (2x - 2y - 1)(x - y - 3)$

3. 最終的な答え

(1) $25(2x+1)(2x-1)$

(2) $(2x-3y)(2x-3y+1)$

(3) $(6x-y)(2x-3y)$

(4) $(2x - 2y - 1)(x - y - 3)$