## 問題 (2)

## 問題 (2)

関数 $y = 4^x - 2^{x+2}$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

## 解き方の手順 (2)

1. $t = 2^x$ とおくと、$y = (2^x)^2 - 4(2^x) = t^2 - 4t$ となります。

2. $x$ の範囲が $-1 \le x \le 3$ なので、$t$ の範囲を求めます。

$t = 2^x$ より、$2^{-1} \le t \le 2^3$ すなわち $\frac{1}{2} \le t \le 8$ です。

3. $y = t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4$ と変形します。これは $t = 2$ を軸とする下に凸の放物線です。

4. $t$ の範囲 $\frac{1}{2} \le t \le 8$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

* 最小値：$t = 2$ のとき $y = (2 - 2)^2 - 4 = -4$

* 最大値：$t = 8$ のとき $y = (8 - 2)^2 - 4 = 36 - 4 = 32$

## 最終的な答え (2)

最大値：32

最小値：-4

## 問題 (3)

1回の操作で溶液の不純物の25%を除去できる装置があります。この装置で操作を複数回行い、もとの不純物の98%以上を除去するには、最低何回操作をする必要がありますか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

## 解き方の手順 (3)

1. 操作を $n$ 回行った後、残っている不純物の割合は $(1 - 0.25)^n = (0.75)^n = (\frac{3}{4})^n$ です。

2. 98%以上を除去するということは、残っている不純物は2%以下になるということなので、次の不等式を解きます。

$(\frac{3}{4})^n \le 0.02$

3. 両辺の常用対数をとります。

$n \log_{10}(\frac{3}{4}) \le \log_{10}(0.02)$

$n (\log_{10}3 - \log_{10}4) \le \log_{10}(2 \times 10^{-2})$

$n (\log_{10}3 - 2\log_{10}2) \le \log_{10}2 - 2$

4. $\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入します。

$n (0.4771 - 2 \times 0.3010) \le 0.3010 - 2$

$n (0.4771 - 0.6020) \le -1.6990$

$n (-0.1249) \le -1.6990$

5. 両辺を -0.1249 で割ります。（負の数で割るので不等号の向きが変わります。）

$n \ge \frac{-1.6990}{-0.1249}$

$n \ge 13.60288...$

6. $n$ は整数なので、最小の $n$ は 14 です。

## 最終的な答え (3)

14 回